maandag, oktober 31

Sinus en Cosinus uitgelegd met Mini Cursus

Het onderwerp voor het volgende wiskunde schoolkwartaal: de sinusregel.


Dus ik (mij kennende) ging gelijk op onderzoek uit!


Hieronder heb ik een kleine microcursus gemaakt voor degene die geïnteresseerd zijn.


1. Sinus

Waar staat sinus voor?


Sinus en nog enkele andere gerelateerde functies staan voor de verhoudingen tussen lijnstukken en hoeken van een driehoek.


Laten we het volgende voorbeeld bekijken:
















Een vraag zou kunnen zijn: Hoe groot is de hoek van deze driehoek?

Hoe kun je die vraag beantwoorden?

Je zou je geodriehoek kunnen pakken en dan de hoek meten, maar dan krijg je meestal niet de exacte waarde. Gelukkig kun je dit ook berekenen en wel op de onderstaande manier:
De desbetreffende hoek noem je alfa. Daarna deel je de overstaande zijde (de zijde met lengte 3) door de schuine zijde (de zijde met lengte 5). De uitkomst van deze deling is gelijk aan de sinus van deze hoek. 

Oké, dan heb je het getal 0,6 en dan? Je pakt de dichtstbijzijnde rekenmachine en voert de berekening 0,6 sin-1 de uitkomst is de grote van de hoek in graden!

Dus je hebt de formule: sin α = overstaande / schuine zijde



2. Cosinus

Wanneer je alleen de schuine en de aangrenzende zijde (de zijde met lengte 4) kent en niet weet hoe groot de hoek is of wat de sinus van die hoek is, wat moet je dan?

Dan gebruik je de cosinus regel. Naast het feit dat elke hoek een sinus versie heeft, heeft elke hoek ook een cosinus versie.

Dus als je de aangrenzende zijde en schuine zijde kent, kun je de cosinus van een hoek berekenen. In ons geval is dat dus 4 delen door 5 met als uitkomst: 0,8. Dus de cosinus van deze hoek is 0,8. Nu haal je heel gauw je rekenmachine er bij en voer je berekening 0,8 cos-1 uit en je weet hoe groot de hoek nu is. Maar wat ook mooi is, je kunt nu de overstaande zijde uitrekenen, want je weet hoe groot de hoek is en groot de schuine zijde is:

sin α = overstaande / schuine zijde

sin α * schuine zijde = overstaande


3. Eenheidscirkel
Om het hele beeld van sinus en cosinus nog te verduidelijken gebruikt men in de wiskunde de eenheidscirkel:















In een eenheidscirkel wordt aangenomen, dat de radius gelijk is aan 1. Als je goed kijkt, zie je dat de schuine zijde eigenlijk ook de radius is van de cirkel, wat gelijk een hele nieuwe dimensie geeft aan het hele gebeuren!

Vanaf nu noemen wij de aangrenzende zijde x en de overstaande zijde y en de schuine zijde (en ook de radius) r.

sin α = y / r

cos α = x / r

is in de eenheidscirkel:

sin α = y

cos α = x



omdat 

r = 1




4. Pythagoras en Sinus en Cosinus

De schuine zijde is 1, dat weet je al. Herinner je je nog de stelling van Pythagoras?

a^2 + b^2 = c^2


Die kun je natuurlijk ook toepassen op de rechthoekige driehoek in de eenheidscirkel, je krijgt dan:

x^2 + y^2 = r^2


x^2 + y^2 = 1^2


dus

x^2 + y^2 = 1

maar, omdat je weet dat x gelijk is aan de cosinus van hoek α en y gelijk is aan de sinus van hoek α kun je ook zeggen dat:

cos^2 α + sin^2 α = 1

En niet alleen geldt dat voor de driehoeken in de eenheidscirkel, maar ook voor alle andere rechthoekige driehoeken!


Er komt meer!
Er komt nog een deel 2, wees voorbereid! Daarin behandel ik:

- Negatieve hoeken

- Negatieve sinus en cosinus

- Tangens en cotangens

- Negatieve tangens en cotangens

- Secans en cosecans

- Negatieve secans en cosecans

Ik heb dus nog veel meer voor jullie in petto!

Laat een reactie achter over wat je ervan vond, of ik iets moet verbeteren of gewoon je mening ;P

Geen opmerkingen: